Question

（2013•海淀区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线y=kx交椭圆C于A，B两点，在直线l：x+y-3=0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求k的值．

Answer 1

分析：（I）由题意通过解直角三角形即可求得a，b值；
（II）设A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），当直线AB的斜率为0时，根据△PAB是等边三角形容易求得k值；当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y=kx（k≠0），联立

x2 3 +y2=1 y=kx

可表示出|x₁|，进而由弦长公式表示出|AO|，设AB的垂直平分线为y=-

1

k

x，它与直线l：x+y-3=0的交点记为P（x₀，y₀），联立

y=-x+3 y=- 1 k x

可表示出P点坐标，进而表示出|PO|，根据△PAB为等边三角形可得|PO|=

3

|AO|，由此可解得k值，综上两种情况即得答案；

解答：解：（I）因为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，
所以a=2cos30°=

3

，b=2sin30°=1，
所以椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1；
（II）设A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），
AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线l：x+y-3=0的交点为P（0，3），
又因为|AB|=2

3

，|PO|=3，所以∠PAO=60°，
所以△PAB是等边三角形，所以直线AB的方程为y=0；
当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y=kx（k≠0），
由

x2 3 +y2=1 y=kx

，得（3k²+1）x²=3，
所以|x1|=

3 3k2+1

，则|AO|=

1+k2

3 3k2+1

=

3k2+3 3k2+1

，
设AB的垂直平分线为y=-

1

k

x，它与直线l：x+y-3=0的交点记为P（x₀，y₀），
所以

y=-x+3 y=- 1 k x

，解得

x0= 3k k-1 y0= -3 k-1

，则|PO|=

9k2+9 (k-1)2

，
因为△PAB为等边三角形，所以应有|PO|=

3

|AO|，
代入得到

9k2+9 (k-1)2

=

3

•

3k2+3 3k2+1

，解得k=0（舍），k=-1，
此时直线AB的方程为y=-x，
综上，k的值为0或-1．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础，应熟练掌握．