Question

6．设数列{a_n}满足a₁=0，且2a_n+1=1+a_na_n+1，b_n=$\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\sqrt{\frac{{{a_{n+1}}}}{n}}$，记S_n=b₁+b₂+…+b_n，则S₁₀₀=（　　）

• A． $1-\frac{1}{{\sqrt{101}}}$
• B． $\frac{9}{10}$
• C． $\frac{99}{100}$
• D． $\frac{1}{10}-\frac{1}{{\sqrt{101}}}$

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=0，且2a_n+1=1+a_na_n+1，可得a₂=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{2}{3}$，a₄=$\frac{3}{4}$，…，可得${a}_{n}=\frac{n-1}{n}$．于是b_n=$\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\sqrt{\frac{{{a_{n+1}}}}{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=0，且2a_n+1=1+a_na_n+1，
∴2a₂=1，解得a₂=$\frac{1}{2}$；
同理可得a₃=$\frac{2}{3}$，a₄=$\frac{3}{4}$，…，
可得${a}_{n}=\frac{n-1}{n}$．
代入2a_n+1=1+a_na_n+1，满足等式．
∴b_n=$\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\sqrt{\frac{{{a_{n+1}}}}{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
记S_n=b₁+b₂+…+b_n，
则S₁₀₀=$（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）$+$（\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}）$+…+$（\frac{1}{\sqrt{100}}-\frac{1}{\sqrt{101}}）$
=1-$\frac{1}{\sqrt{101}}$．
故选：A．

点评 本题考查了递推关系的应用、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．