Question

5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinC=2（1-cosC）．
（1）求cosC；
（2）若c=2，且2sinAcosC=sinB，求b的长．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，利用二倍角的余弦公式公式、同角三角函数的基本关系求得cosC的值．
（2）由条件利用正弦定理可得cosC=$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{5}$，即5b=6a，再利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵sinC=2（1-cosC），∴sinC=2-2cosC，
即 2sin$\frac{C}{2}$•cos$\frac{C}{2}$=2-2（1-2${sin}^{2}\frac{C}{2}$）=4${sin}^{2}\frac{C}{2}$，又sin$\frac{C}{2}$≠0，
∴cos$\frac{C}{2}$=2sin$\frac{C}{2}$，∴tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，tanC=$\frac{2tan\frac{C}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{C}{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
故C为锐角．
再根据$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{4}{3}$，sin²C+cos²C=1，求得cosC=$\frac{3}{5}$．
（2）若c=2，且2sinAcosC=sinB，由正弦定理可得2acosC=b，
故 cosC=$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{5}$，∴5b=6a．
再由余弦定理可得 c²=4=a²+b²-2ab•cosC=${（\frac{5b}{6}）}^{2}$+b²-2•$\frac{5b}{6}$•b•$\frac{3}{5}$，
求得b=$\frac{12}{5}$．

点评 本题主要考查二倍角的余弦公式公式、同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．