Question

已知定义在R上的奇函数g(x)=

1-9x

2(9x+m)

．
（1）求m的值；
（2）令f(x)=g(x-

1

2

)+

1

2

，求f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2013

2013

)的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义，建立条件关系即可得到结论．
（2）求出f（x）的表达式得到f（x）+f（

1

x

）=1，然后计算即可得到结论．

解答：解：（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即

1-9-x

2(9-x+m)

=-

1-9x

2(9x+m)

，可
得 

9x-1

2(1+m9x)

=

9x-1

2(9x+m)

，
∴m=1．
（2）当m=1时，g（x）=

1-9x

2(9x+1)

．
∵f(x)=g(x-

1

2

)+

1

2

=

1-9x- 1 2

2(9x- 1 2 +1)

+

1

2

=

3-9x

2(9x+3)

+

1

2

=

6

2(9x+3)

．
∴f（

1

x

）=

6

2(9 1 x +3)

=

2•9x

2(9x+3)

，
∴f（x）+f（

1

x

）=1．
∴设f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2013

2013

)=m，
则f(

2013

2013

)+f(

2012

2013

)+…+f(

1

2013

)=m，
两式相加得2m=2013×1=2013，
即m=

2013

2

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件求出f（x）+f（

1

x

）=1是解决本题的关键，综合考查函数的性质．