题目内容
（2012•资阳三模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2n+1．
（I）求证：（
）是等差数列，并求出数列的{an}通项公式；
（II）数列{bn}满足bn=log2
求使不等式（1+
）（1+
）…（1+
）≥m•
对任意正整数n都成立的最大实数m的值．
（I）求证：（
| an |
| 2n |
（II）数列{bn}满足bn=log2
| an |
| n+1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| b2n-1 |
| b2n+1 |
分析：（Ⅰ）利用Sn=2an-2n+1，与Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．推出an-2an-1=2n （n≥2），然后证明数列{
}是公差为1的等差数列，即可求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用bn=log2
，求出表达式，化简不等式（1+
）（1+
）…（1+
）≥m•
，通过令f(n)=
，比较
的大小，说明f（n）单调递增，然后求出实数m的最大值．
| an |
| 2n |
（Ⅱ）利用bn=log2
| an |
| n+1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| b2n-1 |
| b2n+1 |
(1+1)(1+
| ||||
|
| f(n+1) |
| f(n) |
解答：解：（Ⅰ）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n （n≥2），（2分）
∴
-
=1，故数列{
}是公差为1的等差数列，（4分）
又S1=2a1-22．则a1=4，∴
=2+(n-1)=n+1，
故an=（n+1）+2n．（6分）
（Ⅱ）∵bn=log2
=
=n，（7分）
不等式（1+
）（1+
）…（1+
）≥m•
，
即（1+1）（1+
）…（1+
）≥m•
恒成立，
也即m≤
对任意正整数n都成立．（8分）
令f(n)=
，知f(n+1)=
，
∵
=
=
＞1，
∴当n∈N*时，f（n）单调递增，（10分）
∴f（n）≥f（1）=
，则m≤
，故实数m的最大值为
．（12分）
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n （n≥2），（2分）
∴
| an |
| 2n |
| an-1 |
| 2n-1 |
| an |
| 2n |
又S1=2a1-22．则a1=4，∴
| an |
| 2n |
故an=（n+1）+2n．（6分）
（Ⅱ）∵bn=log2
| an |
| n+1 |
| log | 2n 2 |
不等式（1+
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| b2n-1 |
| b2n+1 |
即（1+1）（1+
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
也即m≤
(1+1)(1+
| ||||
|
令f(n)=
(1+1)(1+
| ||||
|
(1+1)(1+
| ||||||
|
∵
| f(n+1) |
| f(n) |
| 2n+2 | ||||
|
| ||
|
∴当n∈N*时，f（n）单调递增，（10分）
∴f（n）≥f（1）=
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查等差关系的确定，数列求和的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．
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