题目内容
【题目】已知椭圆
的左顶点 
与上顶点
的距离为
．
(Ⅰ)求椭圆
的方程和焦点的坐标；
(Ⅱ)点
在椭圆上，线段
的垂直平分线与
轴相交于点
，若
为等边三角形，求点的横坐标．
【答案】(Ⅰ) 
；
(Ⅱ) 
【解析】
(Ⅰ)先由题意得到
，求出
，进而可得出椭圆方程，求出焦点坐标；
(Ⅱ)先设
，先分析当点
为右顶点时，不满足题意，得到
；再设线段
中点为
，得到
，根据
，
为正三角形，建立等量关系，进而可求出结果.
(Ⅰ)依题意，有.所以
所以椭圆方程为 
所以
，
焦点坐标分别为
(Ⅱ)设，则
，且
若点为右顶点，则点
为上（或下）顶点，
，△
不是等边三角形，不合题意，所以.
设线段中点为，所以
因为，所以
因为直线的斜率
所以直线
的斜率
又直线的方程为
令
，得到
因为,所以
因为为正三角形，
所以
，即
化简，得到
，解得
（舍）
即点的横坐标为
.
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