Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1
（1）若f（x）＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}，求实数a，b的值．
（2）若f（-1）=1且f（x）＜2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得：a＞0且3，4是方程ax²+bx+1=0的两个根．利用根与系数的关系解出即可．
（2）由f（-1）=1，解得a=b．而f（x）＜2恒成立，即：ax²+bx-1＜0恒成立．所以a＜0且△=b²+4a＜0，解出即可．

解答：解 （1）由题意得：a＞0且3，4是方程ax²+bx+1=0的两个根．
所以

3+4=- b a 3×4= 1 a

，解得a=

1

12

，b=-

7

12

．
（2）由f（-1）=1，解得a=b，
而f（x）＜2恒成立，即：ax²+bx-1＜0恒成立．
所以a＜0且△=b²+4a＜0，即a²+4a＜0，解得-4＜a＜0，
故所求的a的取值范围是（-4，0）．

点评：熟练掌握一元二次不等式的解法与判别式的关系、根与系数的关系是解题的关键．