Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a、b、c∈R），且同时满足：①f（-1）=0；②对任意的实数x恒有x≤f（x）≤（

x+1

2

） ²成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的表达式；
（3）当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m是实数）是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在给出的不等式中，首先令x=（

x+1

2

） ² ，根据这个条件可求出f（1）的值．
（2）联立f（1）=1，f（-1）=0，即可求出a+c与b的关系式．由f（x）-x≥0恒成立，即：ax²+（b-1）x+c≥0对于一切实数x恒成立，只有当a＞0，且△=（b-1）²-4ac≤0时，才满足上述条件，然后结合均值不等式求出a、c的值，由此得解f（x）的表达式．
（3）由于函数g（x）的对称轴为x=2m-1，在[-1，1]上是单调函数，故有 2m-1≥1，或2m-1≤-1，由此求得m的取值范围．

解答：解：（1）当 （

x+1

2

） ² =x，即 x=1时，则由②可得 1≤f（1）≤1，∴f（1）=1．
（2）由f（1）=1且f（-1）=0可得：

a+b+c=1 a-b+c=0

，∴a+c=b=

1

2

．
∵对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，
∴

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

，即 

a＞0 ac≥ 1 16

．
∵a+c=

1

2

，且a+c≥2

ac

=2×

1 16

=

1

2

，∴当且只有当a=c=

1

4

时，不等式成立．
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．
（3）∵当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx=

1

4

x²+（

1

2

-m）x+

1

4

 是单调函数，
它的对称轴为x=

m- 1 2

1 2

=2m-1，故有 2m-1≥1，或2m-1≤-1．
解得 m≥1，或 m≤0，故m的取值范围为[1，+∞）∪（-∞，0]．

点评：此题考查的是二次函数解析式的求法，题中还涉及了二次函数的性质、二次函数与不等式的联系以及均值不等式的应用，难度较大；解题的关键是从不等式中找出f（x）的一个定值以及抓住不等式恒成立的条件．