Question

【题目】如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足是线段上的靠近点的三等分点.已知

（1）证明：；

（2）若点是线段上一点，且平面平面.试求的值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）利用已知条件证明面，再由线面垂直的性质定理即可得到证明；（2）建立空间直角坐标系，设，求出平面平面的法向量，由平面平面可知法向量也是互相垂直的，由数量积为0即可得到答案.

解：（1）∵，是的中点，∴，

面，

∴，

∴面，面，∴

(2)过点O作ON//BC交AB于点N，由已知可得ON，以ON,OD,OP所在直线为x轴和y轴和z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则.

设，∴，

设面的法向量，∵点在面上所以

，即得

∴

设面法向量为，

，∴

两个面垂直，所以他们的法向量也是互相垂直的，

解得；