Question

若关于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是

（-∞，-1]

．

Answer 1

分析：根据指数函数的性质，可得当n∈N^*时，(

1

2

)n的最大值为

1

2

，则可将问题转化为x2+

1

2

x-

1

2

≥0在x∈（-∞，λ]上恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得实常数λ的取值范围．

解答：解：当n∈N^*时，(

1

2

)n的最大值为

1

2

则关于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，
即x2+

1

2

x-

1

2

≥0在x∈（-∞，λ]上恒成立，
∵f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

的图象是开口朝上，且以x=-

1

4

为对称轴的抛物线
则当λ≤-

1

4

时，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，λ]上单调递减，
若f（x）≥0，即f（λ）≥0，解得λ≤-1
当λ＞-

1

4

时，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，-

1

4

]上单调递减，[-

1

4

，λ]单调递增
若f（x）≥0，即f（-

1

4

）≥0，此时不满足条件
综上λ≤-1
即常数λ的取值范围是（-∞，-1]

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中熟练掌握指数函数的性质及二次函数的图象和性质是解答的关键．