Question

（1）试求i¹，i²，i³，i⁴，i⁵，i⁶，i⁷，i⁸的值；
（2）由（1）推测iⁿ（n∈N^*）的值有什么规律，并用式子表示出来．
（3）计算：i²⁰¹²的值．

Answer 1

分析：（1）根据虚数单位的规律性即可求解；
（2）根据所给例子找出规律，再把所求式子与已知相联系即可得出答案．
（3）由（2）得出的规律进行求解即可．

解答：解：（1）i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=（i²）³=（-1）³=-1，i⁷=i⁶•i=-i，i⁸=（i⁴）²=1，…
（2））∵i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1，
从n=1开始，4个一次循环．
∴i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i（n为自然数），
（3）由于2012=4×503，
∴i²⁰¹²的值=1．

点评：本题是信息给予题，主要考查了幂的乘方的性质，读懂题目信息并正确利用性质是解答本题的关键．