Question

设A_n为数列｛a_n｝的前n项和，A_n=（a_n－1）（n∈N^*），数列｛b_n｝的通项公式为b_n=4n+3（n∈N）.

（Ⅰ）求数列｛a_n｝的通项公式；

（Ⅱ）若d∈｛a₁，a₂，a₃，…，a_n，…｝∩｛b₁，b₂，b₃，…，b_n，…｝，则称d为数列｛a_n｝与｛b_n｝的公共项，将数列｛a_n｝｛b_n｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列｛d_n｝，证明数列｛d_n｝的通项公式为d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）；

（Ⅲ）设数列｛d_n｝中第n项是数列｛b_n｝中的第r项，B_r为数列｛b_n｝的前r项的和，D_n为数列｛d_n｝的前n项和，T_n=B_r+D_n，求.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由已知An=（an－1）（n∈N），当n=1时，a1=（a1－1）， 解得a1=3， 当n≥2时，an=An－An－1=（an－an－1），由此解得an=3an－1， 即=3（n≥2）. 所以数列｛an｝是首项为3，公比为3的等比数列，故an=3n（n∈N*）； （Ⅱ）证明：由计算可知a1，a2不是数列｛bn｝中的项， 因为a3=27=4×6＋3，所以d1=27是数列｛bn｝中的第6项 设ak=3k是数列｛bn｝中的第n项，则3k=4m+3（k，m∈N）， 因为ak+1=3k+1=3·3k=3（4m+3）=4（3m+2）+1， 所以ak+1不是数列｛bn｝中的项. 而ak+2=3k+2=9·3k=9（4m+3）=4（9m+6）+3， 所以ak+2是数列｛bn｝中的项 由以上讨论可知d1=a3，d2=a5，d3=a7，…，dn=a2n+1 所以数列｛dn｝的通项公式是dn=a2n+1=32n+1（n∈N*） （Ⅲ）解：由题意，32n+1=4r+3， 所以r=（32n－1） 易知 ∴