Question

20.已知函数f(x)=ax⁴lnx+bx⁴-c(x＞0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.

(Ⅰ)试确a,b的值;

(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调区向;

(Ⅲ)若对任意x＞0,不等式f(x)≥-2c²恒成立,求x的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意知f(1)= -3-c，因此b-c= -3-c，从而b=-3.

又对f(x)求导得

f′(x)-4ax³lnx+ax⁴·+4bx³

=x⁴(4alnx+a+4b).

由题意f′(1)=0，因此a+4b=0，解得a=12，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=48x³lnx (x＞0)，令f′(x)=0，解得x=1.

当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数；

当x＞1时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数.

因此f(x)的单调递减区间为(0，1)，而f(x)的单调递增区间为(1，+∞).

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c，此极小值也是最小值，要使f(x)≥-2c²  (x＞0)恒成立，只需-3-c≥-2c².

即2c²-c-3≥0，从而(2c-3)(c+1)≥0

解得c≥或c≤-1.

所以c的取值范围为(+∞，-1]∪[，+∞).