题目内容

设a＞0，函数f(x)=
alnx
x

（1）讨论f（x）的单调性
（2）求f（x）在区间[a，2a]上的最小值．
（1）∵函数f(x)=
alnx
x
（x＞0），
∴f′（x）=
a(1-lnx)
x2

∵a＞0，所以判断1-lnx的符号，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，
当x＞e时，f′（x）＜0，为减函数，
∴x=e为f（x）的极大值，
∴f（x）在（0，e）上单调递增；（e，+∞）是减函数．
（2）∵f（x）在（0，e）上单调递增；（e，+∞）是减函数
∴当a≤2e，x=a时有最小值，为f（a）=
alna
a
=lna．
当a＞2e，x=2a时有最小值，为f（a）=
aln(2a)
2a
=ln
ln(2a)
2
．
练习册系列答案
相关题目
设a＞0，函数f(x)=x-a
x2+1
+a．
（I）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．
设a＞0，函数f(x)=
12
x2-(a+1)x+alnx．
（1）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为-1，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值点．
设a＞0，函数f(x)=x2+ax+a-
3a
的定义域是{x|-1≤x≤1}．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）的最大值大于6，求a的取值范围．
设a＞0，函数f(x)=
1
2
x2-4x+aln2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x=3时，函数 f（x）取得极值，证明：当θ∈[0，
π
2
]时，|f(1+2cosθ)-f(1+2sinθ)|≤4-3ln3．
（2012•泸州二模）设a＞0，函数f(x)=
1
x2+a
．
（1）求证：关于x的方程f(x)=
1
x-1
没有实数根；
（2）求函数g(x)=
1
3
ax3+ax+
1
f(x)
的单调区间；
（3）设数列{xn}满足x1=0，xn+1=f(xn)(n∈N*)，当a=2且0＜xk≤
1
2
(k=2，3，4，…)，证明：对任意m∈N*都有|xm+k-xk|＜
1
3•4k-1
．

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