Question

已知函数f(x)=px-

p

x

-2lnx．
（1）若p=2．求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（3）若?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞2成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当p=2时，写出f（x）的解析式，求导数，利用导数的几何意义得到曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率，从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）先求导数f′（x），要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调增函数，只需f′（x）≥0，再利用二次函数恒成立的条件得出正实数p的取值范围；
（3）设h（x）=px²-2x+p．先对参数p进行分类讨论：①当p＜0时，当p=0时，它在[1，e]上也是减函数，f（x）的最大值=f（1）=0＜2不合题意．②当0＜p＜1时，当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，此时也不合题意．③当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，利用f（x）的最大值得出p（e-

1

e

）＞4，解得p的取值范围．

解答：解：（1）当p=2时，f（x）=2x-

2

x

-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0，f′（x）=2+

2

x2

-

2

x

，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=2+2-2=2，
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1）即y=2x-2．
（2）由 f（x）=px-

p

x

-2lnx，得f′（x）=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调增函数，只需f′（x）≥0，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）内恒成立，…（5分）
∵px²-2x+p在（0，+∞）内的最小值为p-

1

p

，
故只须p-

1

p

≥0，
从而p≥1．…（7分）
（3）①当p＜0时，h（x）=px²-2x+p，它在[1，e]上是减函数，
当p=0时，h（x）=-2x，此时，它在[1，e]上也是减函数，
故当p≤0，在[1，e]上是减函数，∴f（x）的最大值=f（1）=0＜2不合题意．
②当0＜p＜1时，由x∈[1，e]，⇒x-

1

x

≥0，
∴f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx≤x-

1

x

-2lnx，由（2）知，当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2lne=e-

1

e

-2＜2不合题意．
③当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，
f（x）的最大值=f（e）=p（e-

1

e

）-2lne＞2，
即p（e-

1

e

）＞4，解得p＞

4e

e2-1

．
故p的取值范围是（

4e

e2-1

，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性与导数的关系的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．