Question

已知向量

a

=（1，2sinx），

b

=（1，cosx-sinx），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小值以及取得最小值时x的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：计算向量的数量积，利用二倍角．两角和的正弦函数化简函数f（x）的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式；
（Ⅰ）借助正弦函数的最值，求出函数y=f（x）的最小值以，取得最小值时x的值；
（Ⅱ）借助正弦函数的单调增区间，求函数y=f（x）的单调递增区间．

解答：解：f（x）=

a

•

b

=1+2sinx（cosx-sinx）（2分）
=1-2sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x（4分）
=

2

sin(2x+

π

4

)（6分）
（Ⅰ）当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

3π

8

，k∈Z时，函数y=f（x）取最小值，
函数y=f（x）的最小值是-

2

．（9分）
（Ⅱ）当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z时，函数y=f（x）单调递增，
故函数y=f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．（12分）

点评：本题考查三角函数的单调性，三角函数的最值，三角函数的化简，公式的应用，考查计算能力，基本知识的灵活运应能力，考查转化思想．