Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x₁∈（2，3），则以下结论中：①abc＞0；   ②a+b+c＜0；   ③a+c＜b；   ④3b＞2c；  ⑤3a+c＞0．正确的序号是

③④

．

Answer 1

分析：根据一元二次函数图象的对称性及图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x₁∈（2，3），
f（2）=f（0）＞0，f（3）=f（-1）＜0；
图象开口向下可得a＜0，对称轴方程x=∵-

b

2a

=1⇒b=-2a，c=f（0）＞0，可判断①是否正确；
利用f（1）=a+b+C来判断②是否正确；
利用 f（-1）=f（3）=a-b+c来判断③是否正确；
利用f（-1）=a-b+c与b=-2a来判断④是否正确；
利用f（3）=9a+3b+c与b=-2a来判断⑤是否正确．

解答：解：根据题意得a＜0；f（1）=a+b+C＞0；-

b

2a

=1；f（2）=4a+2b+c＞0；f（3）=9a+3b+c＜0．
∵-

b

2a

=1⇒b=-2a＞0，f（0）=f（2）=c＞0，∵a＜0，∴abc＜0，∴①×；
∵f（1）=a+b+C＞0f（1）=a+b+C＞0，∴②×；
∵根据一元二次函数的对称性，f（-1）=f（3）=a-b+c＜0⇒a+c＜b，∴③√；
∵f（-1）=a-b+c=-

b

2

-b+c=f（3）＜0⇒2c＜3b，∴④√；
∵a+b+C＞0⇒3a+3b+3C＞0，∵9a+3b+c＜0⇒-6a+2c＞0，∵b=-2a
∵b=-2a，9a+3b+c=3a+c＜0，∴⑤×；
故答案是③④

点评：本题考查了一元二次函数的图象的对称性，及一元二次方程根的分布．利用一元二次函数图象分析一元二次方程的解（函数的零点）的分布与一元二次不等式的解集是此类题的常用方法．