Question

数列满足，（），是常数．
(1)当时，求及的值；
(2)数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
(3)求的取值范围，使得存在正整数，当时总有。

Answer 1

，，
不可能为等差数列，

解析解: (1)由于，且．
所以当时，得，故．                    ………2分
从而．                             ………4分
(2)数列不可能为等差数列，证明如下：由，
得，，．
若存在，使为等差数列，则，即，
解得．                                               ………6分
于是，．这与为
等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．    ………8分
(3)记，根据题意可知，且，即
且，这时总存在，满足：
当时，；当时，．                  ……9分
所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．              ………10分
因此“存在，当时总有”的充分必要条件是： 为偶数，
记，则满足． ………12分
故的取值范围是．             ………13分