Question

下列关于函数f（x）=（2x-x²）e^x的判断正确的是（　　）
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}，f（x）＜0的解集是{x|x＜0或x＞2}．
②f(-

2

)是极小值，f(

2

)是极大值．
③f（x）没有最小值，也没有最大值．
④f（x）有最大值，没有最小值．

A．①③

B．①②③

C．②④

D．①②④

Answer 1

分析：令f（x）＞0可解x的范围，令f（x）＜0可解x的范围，可确定①正确；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确；根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，从而确定③④的真假，从而得到答案．

解答：解：由f（x）＞0⇒（2x-x²）e^x＞0⇒2x-x²＞0⇒0＜x＜2，
由f（x）＜0⇒（2x-x²）e^x＜0⇒2x-x²＜0⇒x＜0或x＞2故①正确；
f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±

2

，
由f′（x）＜0得x＞

2

或x＜-

2

，
由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-

2

），（

2

，+∞）单调增区间为（-

2

，

2

）．
∴f（x）的极大值为f（

2

），极小值为f（-

2

），故②正确．
∵x＜-

2

时，f（x）＜0恒成立，x→+∞时，f（x）→-∞，
∴f（x）无最小值，
而f（x）的单调减区间为（-∞，-

2

），（

2

，+∞）单调增区间为（-

2

，

2

）且x＜-

2

时，f（x）＜0．
∴f（x）有最大值f（

2

）
∴f（x）没有最小值，也没有最大值不正确，即③不正确，
f（x）有最大值f（

2

），但无最小值，故④正确．
故选D

点评：本题主要考查了函数的极值与其导函数关系，以及利用导数求函数的最值，属于中档题．