题目内容
容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的盐水的质量分数分别为an，bn，
（ I）问至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）
（Ⅱ）求an、bn的表达式，并求
an与
bn的值．
（ I）问至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）
（Ⅱ）求an、bn的表达式，并求
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
（ I）∵b1=
(
+4×
)=
，a1=
(
+5×
)=
；
bn+1=
，an+1=
(5an+bn+1)=
；
∴an+1-bn+1=
(an-bn)，
∴{an-bn}是q=
的等比数列，
∴an-bn=
×(
)n-1＜
，
∴n-1＞log
=
≈5.7，
∴n≥7，故至少操作7次；
（Ⅱ）∵bn+1=
[bn+
×(
)n-1+4bn]，
∴bn+1-bn=
×(
)n
∴bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）=
+
×[
+(
)2+…+(
)n-1]=-
×(
)n+
，
而an=bn+
×(
)n-1=
×(
)n+
；
∴
an=
bn=
．
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 20 |
| 2 |
| 25 |
| 1 |
| 6 |
| 2 |
| 25 |
| 1 |
| 5 |
| 9 |
| 50 |
bn+1=
| an+4bn |
| 5 |
| 1 |
| 6 |
| 26an+4bn |
| 30 |
∴an+1-bn+1=
| 2 |
| 3 |
∴{an-bn}是q=
| 2 |
| 3 |
∴an-bn=
| 1 |
| 10 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 100 |
∴n-1＞log
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 10 |
| 1 |
| lg3-lg2 |
∴n≥7，故至少操作7次；
（Ⅱ）∵bn+1=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 10 |
| 2 |
| 3 |
∴bn+1-bn=
| 3 |
| 100 |
| 2 |
| 3 |
∴bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）=
| 2 |
| 25 |
| 3 |
| 100 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 100 |
| 2 |
| 3 |
| 7 |
| 50 |
而an=bn+
| 1 |
| 10 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 50 |
| 2 |
| 3 |
| 7 |
| 50 |
∴
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
| 7 |
| 50 |
．
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