Question

已知函数，当时，；当（）时，.

（1）求在[0，1]内的值域；

（2）为何值时，不等式在[1，4]上恒成立.

 

Answer 1

【答案】

(1)值域为；(2)当时，不等式在[1，4]上恒成立.

【解析】

试题分析： （1）根据题意得到和是函数的零点且，然后得到解析式。

（2）令

因为上单调递减，要使在[1，4]上恒成立，只要求解g(x)的最大值即可。

由题意得和是函数的零点且，则（此处也可用韦达定理解）解得：

               ------------6分

(1)由图像知，函数在内为单调递减，所以：当时，，当时，.

在内的值域为       --------------- 8分

(2)令

因为上单调递减，要使在[1，4]上恒成立，

则需要，即

解得当时，不等式在[1，4]上恒成立.    ------12分

考点：本题主要考查了二次函数的图像与x轴的位置关系，以及二次函数的 最值问题的运用。

点评：解决该试题的关键是根据题意得到和是函数的零点且，进而求解得到解析式，进一步研究函数在给定区间的最值。