Question

已知函数f（x）=sinx+cosx+|sinx-cosx|，若?x∈R，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）则|x₁-x₂|的最小值为（　　）

• A．2π
• B．

  5

  4

  π
• C．π
• D．

  3

  4

  π

Answer 1

分析：去掉绝对值，化简函数，确定函数在一个周期上的最值，即可求得结论．

解答：解：函数f（x）=sinx+cosx+|sinx-cosx|=

2sinx，sinx≥cosx 2cosx，sinx＜cosx

，函数的周期为2π
在一个周期上，当x∈[-

3π

4

，

π

4

]时，x=-

3π

4

时，取得最小值-

2

，x=-

π

2

时，取得最大值2；
当x∈[

π

4

，

5π

4

]时，x=

5π

4

时，取得最小值-

2

，x=

π

2

时，取得最大值2．
∵?x∈R，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），∴|x₁-x₂|的最小值为

5π

4

-

π

2

=

3

4

π
故选D．

点评：本题考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．