Question

给出下列四个命题：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1；
②抛物线y=2x²的焦点坐标是(

1

2

，0)；
③已知|

a

|=|

b

|=2，

a

与

b

的夹角为

π

3

，则

a

+

b

在

a

上的投影为3；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

处取得最小值，则f(

3π

2

-x)=-f(x)；．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：依次分析命题：当0＜x≤1时，|x-lgx|=x+|lgx|；当x＞1时，|x-lgx|＜x+|lgx|，故①成立；抛物线y=2x²的焦点坐标是（0，

1

8

），②不成立；

a

+

b

在

a

上的投影=|

a

|+|

b

| cos

π

3

=2+2×

1

2

=3，③成立；f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

处取得最小值，则f(

3π

2

-x)=-f(x)，④成立，综合可得答案．

解答：解：当0＜x＜1时，|x-lgx|=x+|lgx|；
当x=1时，|x-lgx|=x+|lgx|；
当x＞1时，|x-lgx|＜x+|lgx|．
∴若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1，即①成立；
∵抛物线y=2x²的焦点坐标是（0，

1

8

），∴②不成立；

a

+

b

在

a

上的投影=|

a

|+|

b

| cos

π

3

=2+2×

1

2

=3，∴③成立；
f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

处取得最小值，则f(

3π

2

-x)=-f(x)，即④成立．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题时要注意抛物线的性质、向量的性质和绝对值不等式的应用．