Question

（2013•南充三模）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为

1

2

，一个焦点是F（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）直线l过点F交椭圆于A、B两点，且

AF

=2

FB

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程，确定几何量，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量条件，即可求得直线方程．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
依题意，e=

c

a

=

1

2

，c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，
∴所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

3

=1；
（Ⅱ）若直线l的斜率k不存在，则不满足

AF

=2

FB

．
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+1．
因为直线l过椭圆的焦点F（0，1），所以k取任何实数，直线l与椭圆均有两个交点A、B．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程

y=kx+1 y2 4 + x2 3 =1

消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．
∴x₁+x₂=

-6k

3k2+4

，①x₁•x₂=

-9

3k2+4

，②
由F（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

AF

=(-x1，1-y1)，

FB

=(x2，y2-1)，
∵

AF

=2

FB

，∴（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），得x₁=-2x₂．
将x₁=-2x₂代入①、②，得x2=

6k

3k2+4

，③x22=

9

6k2+8

，④
由③、④得，(

6k

3k2+4

)2=

9

6k2+8

，化简得

36k2

3k2+4

=

9

2

，
解得k2=

4

5

，∴k=±

2 5

5

∴直线l的方程为：y=±

2 5

5

x+1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．