Question

4个男生，3名女生站成一排．（均须先列式再用数字作答）
（1）某名男生不站在两端，共有多少种不同的排法？
（2）3名女生有且只有2名女生排在一起，有多少种不同的排法？
（3）甲、乙两同学之间必须恰有2人，共有多少种不同的排法？

Answer 1

分析：（1）分2步进行，首先分析这个男生，易得其有5个位置可选，其他人安排在剩余的6个位置，可得其排法数目，由分步计数原理，计算可得答案；
（2）分3步进行，先排4个男生，再从3名女生中取出2名，同时考虑其顺序，最后将两组女生安排在4个男生的5个空位中，有A₅²种排法，根据排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案；
（3）分3步进行，先分析甲乙，考虑其顺序，再从剩余的5人中，选出2人，放在甲乙中间，最后将4人看成一个元素，与其他3人全排列，根据排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，某名男生不站在两端，则其有5个位置可选，
其他人安排在剩余的6个位置，有A₆⁶种情况，
则共有5×A₆⁶=3600种；
（2）根据题意，先排4个男生，有A₄⁴种情况，排好后有5个空位，
从3名女生中取出2名，有C₃²种取法，考虑其顺序，有2C₃²种情况，
将两组女生安排在5个空位中，有A₅²种排法，
则共有A₄⁴×2C₃²×A₅²=2880种排法；
（3）先排甲乙，有2种情况，
从剩余的5人中，选出2人，放在甲乙中间，有2C₅²种情况，
将4人看成一个元素，与其他3人全排列，有A₄⁴种情况，
则共有2×2C₅²×A₄⁴=960种排法．

点评：本题考查排列、组合的应用，是典型的排队问题，解答的关键是审清题意，注意特殊问题的处理方法．