Question

19．已知函数f（x）=Acos（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{6}$），x∈R，且f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$．
（1）求A的值；
（2）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（4α+$\frac{4}{3}$π）=-$\frac{30}{17}$，f（4β-$\frac{2}{3}$π）=$\frac{8}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用条件求得A的值．
（2）由条件根据f（4α+$\frac{4}{3}$π）=-$\frac{30}{17}$，求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值；由f（4β-$\frac{2}{3}$π）=$\frac{8}{5}$，求得cosβ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinβ的值；从而求得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ的值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=Acos（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{6}$），x∈R，由f（$\frac{π}{3}$）=Acos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A=$\sqrt{2}$，
可得A=2．
（2）由于α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（4α+$\frac{4}{3}$π）=2cos（$\frac{4α+\frac{4π}{3}}{4}$+$\frac{π}{6}$）=2cos（α+$\frac{π}{2}$）=-2sinα=-$\frac{30}{17}$，
∴sinα=$\frac{15}{17}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{8}{17}$．
又 f（4β-$\frac{2}{3}$π）=2cos（$\frac{4β-\frac{2π}{3}}{4}$+$\frac{π}{6}$）=2cosβ=$\frac{8}{5}$，∴cosβ=$\frac{4}{5}$，∴sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{3}{5}$．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{8}{17}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{15}{17}$×$\frac{3}{5}$=$-\frac{13}{85}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．