Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，Sn=

1

2

an+1(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃．
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入已知Sn=

1

2

an+1中，由a₁的值即可求出a₂的值，然后由a₁和a₂的值，把n=2代入Sn=

1

2

an+1中即可求出a₃的值；
（2）根据数列的递推式把a_n+1=S_n+1-S_n代入Sn=

1

2

an+1中，确定出数列S_n是等比数列，由首项和公比写出数列S_n的通项公式，当n=1时，根据S₁=a₁得到a₁的值，当n≥2时，再根据Sn-1=

1

2

an即可得到a_n的通项公式，写出数列{a_n}的通项的分段函数即可；
（3）根据（1）中求出的a_n的通项公式列举出数列{na_n}的前n项和T_n的各项，当n=1时求出T₁的值，当n≥2时，求出Tn，记作①，两边乘以3得到一个等式，记作②，①-②，根据等比数列的前n项和公式化简即可求出T_n的通项公式，把求出的T₁代入也满足，进而求出数列{na_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）令n=1，得到S₁=a₁=

1

2

a₂，由a₁=1，得到a₂=2，
令n=2，得到S₂=a₁+a₂=

1

2

a₃，
则a₃=2（1+2）=6；（3分）
（2）∵a_n+1=2S_n，∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴

Sn+1

Sn

=3．
又∵S₁=a₁=1，
∴数列S_n是首项为1，公比为3的等比数列，S_n=3^n-1（n∈N^*）．（5分）
当n≥2时，a_n=2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴an=

1，n=1 2•3n-2，n≥2

；（8分）
（3）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
当n=1时，T₁=1；
当n≥2时，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2①，
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1②，
①-②得：-2T_n=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1
=2+2•

3(1-3n-2)

1-3

-2n•3n-1
=-1+（1-2n）•3^n-1．
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n≥2)．
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n∈N*)．（14分）

点评：本题主要考查数列求和的错位相减法、等比数列的前n项和公式以及确定等比数列的方法．考查学生的运算能力．学生做此类题时注意灵活利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2且n为正整数）．