Question

在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形如图所示，设第n个三角形数为f（n），则

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

…+

1

f(n)

=

2n

n+1

．

Answer 1

分析：通过观察前几个图形中顶点的个数得，归纳出f（n），然后根据

1

f(n)

的特点进行求和．

解答：解：∵第n个三角形数为f（n），则f（1）=1，f（2）=3，f（3）=6，f（4）=10，f（5）=15，f（6）=21，
第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即f（2）-f（1）=2，
第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即f（3）-f（2）=3，
第四个图中点的个数比第三个图中点的个数多4，即f（4）-f（3）=4，
…
第n个图中点的个数比第n-1个图中点的个数多n，即f（n）-f（n-1）=n，
等式两边同时相加得：
则f（n）=1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

，
即

1

f(n)

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

…+

1

f(n)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．
故答案为：

2n

n+1

．

点评：本题主要考查归纳推理的应用，根据条件求出f（n），然后求出f（n）的表达式，利用裂项法求和即可．