题目内容
定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：
①对任意x1、x2∈（-1，1）都有f(x1)+f(x2)=f(
)；
②当x＜0时，f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性，并给出证明；
（2）若f(
)=
，求f(
)-f(
)-f(
)的值．
①对任意x1、x2∈（-1，1）都有f(x1)+f(x2)=f(
| x1+x2 |
| 1+x1x2 |
②当x＜0时，f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性，并给出证明；
（2）若f(
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分析：（1）令x1=x2=0，可得f（0）=0，令x2=-x1，可得f（x1）+f（-x1）=0，进而根据函数奇偶性的定义，可判断函数的奇偶性，x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，结合当x＜0时，f（x）＞0．及函数单调性的定义，可判断函数的单调性；
（2）根据f(x1)+f(x2)=f(
)，结合（1）中函数的奇偶性，可得f（x1）-f（x2）=f(
)，结合f(
)=
，可求f(
)-f(
)-f(
)的值．
（2）根据f(x1)+f(x2)=f(
| x1+x2 |
| 1+x1x2 |
| x1-x2 |
| 1-x1x2 |
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解答：解：（1）∵f(x1)+f(x2)=f(
)，
令x1=x2=0
则f（0）+f（0）=f（0）
解得f（0）=0
令x2=-x1，
则f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（-x1）=f（0）=0
∴函数f（x）为奇函数
任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
则x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，
∴
＜0，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f(
)
∵当x＜0时，f（x）＞0
∴f(
)＞0
即f（x1）＞f（x2）
即函数f（x）在（-1，1）上为减函数
（2））∵f(x1)+f(x2)=f(
)，f（x1）-f（x2）=f(
)
∴f(
)-f(
)-f(
)
=f(
)-f(
)
=f(
)-f(
)
=f(
)
=f(
)
=f(
)
=2•f(
)=
•2=1
| x1+x2 |
| 1+x1x2 |
令x1=x2=0
则f（0）+f（0）=f（0）
解得f（0）=0
令x2=-x1，
则f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（-x1）=f（0）=0
∴函数f（x）为奇函数
任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
则x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，
∴
| x1-x2 |
| 1-x1x2 |
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f(
| x1-x2 |
| 1-x1x2 |
∵当x＜0时，f（x）＞0
∴f(
| x1-x2 |
| 1-x1x2 |
即f（x1）＞f（x2）
即函数f（x）在（-1，1）上为减函数
（2））∵f(x1)+f(x2)=f(
| x1+x2 |
| 1+x1x2 |
| x1-x2 |
| 1-x1x2 |
∴f(
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=f(
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=f(
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=f(
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=f(
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=f(
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=2•f(
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点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数奇偶性与函数单调性的综合，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
练习册系列答案
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＞0.
)＜f(
).
是定义在（-1，1）的奇函数，且f（
）=
．
是定义在（-1，1）的奇函数，且f（
）=
．