Question

已知函数f(x)=22x-

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•2x+1-6，其中x∈[0，3]，
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若实数a满足：f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设t=2^x，利用换元法，将求已知函数的最值问题，转化为求关于t的二次函数求最值问题，最后利用配方法求二次函数最值即可；（2）f（x）-a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立，只需a小于或等于f（x）的最小值，利用（1）的结论即可得a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=（2^x）²-5•2^x-6（0≤x≤3），
令t=2^x，
∵0≤x≤3，
∴1≤t≤8
所以有：f（x）=h(t)=t2-5t-6=(t-

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)2-

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（1≤t≤8）
所以：当t∈[1，

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]时，h（t）是减函数；当t∈(

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，8]时，h（t）是增函数；
∴f(x)min=h(

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)=-

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，f（x）_max=h（8）=18．
（2）∵f（x）-a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立，
所以：a≤f(x)min=-

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．
即a≤-

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点评：本题考查了换元法求函数的值域，配方法求二次函数最值，不等式恒成立问题的解法，通过换元实现函数转化是解决本题的关键