Question

已知函数f（x）=log₃x+m（1≤x≤9，m为常数）的图象经过点（1，2），则函数g（x）=[f（x）]²-f（x²）的值域为________．

Answer 1

[2，5]
分析：先由函数f（x）=log₃x+m（1≤x≤9，m为常数）的图象经过点（1，2），求得m，再根据f（x）的定义域为[1，9]，求出g（x）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数g（x）=[f（x）]²-f（x²）=（2+log₃x）²-（2+log₃x²）=（log₃x+1）²+1的最大值与最小值．
解答：∵函数f（x）=log₃x+m（1≤x≤9，m为常数）的图象经过点（1，2），
∴log₃1+m=2，∴m=2，∴f（x）=log₃x+2，
由f（x）的定义域为[1，9]可得g（x）的定义域为[1，3]，
又g（x）=（2+log₃x）²-（2+log₃x²）=（log₃x+1）²+1，
∵1≤x≤3，∴0≤log₃x≤1．
∴当x=1时，g（x）有最小值2；
当x=3时，g（x）有最大值5．
则函数g（x）=[f（x）]²-f（x²）的值域为[2，5]．
故答案为：[2，5]．
点评：根据f（x）的定义域，先求出g（x）的定义域是正确解题的关键步骤，属于易错题．