Question

已知方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0有1个根小于-2，其余3个根都大于-1，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

由题意知m≠0，设函数f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，为偶函数．
因为方程有1个根小于-2，其余3个根都大于-1，所以方程一个根小于-2，对应的另一个根大于2，两外两个根一个在（-1，0）之间，一个在（0，1）之间．
设t=x²，则对应函数为g（t）=mt²-（m-3）t+3m，对应方程的两个根t大于4，两外一个根t∈（0，1）．
若m＞0，则

g(0)＞0 g(1)＜0 g(4)＞0

，即

3m＞0 m-(m-3)+3m＜0 16m-4(m-3)+3m＞0

，所以

m＞0 m＜-1 m＞- 4 5

，此时不等式组无解．
若m＜0，则

g(0)＜0 g(1)＞0 g(4)＞0

，即

3m＞0 m-(m-3)+3m＞0 16m-4(m-3)+3m＞0

，所以

m＞0 m＞-1 m＞- 4 5

，此时解得-

4

5

＜m＜0．
故答案为：-

4

5

＜m＜0．