Question

已知集合A={x|x²-2ax+a²-1＜0}，B={x|

x+1

ax-2

＞1}，命题P：2∈A，命题Q：1∈B，若复合命题“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由已知中集合A={x|x²-2ax+a²-1＜0}={x|a-1＜x＜a+1}，我们易求出命题P：2∈A为真时，参数a的取值范围，又由B={x|

x+1

ax-2

＞1}，我们易确定出命题Q：1∈B，为真时，参数a的取值范围，结合复合命题“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，即命题P，Q有且只有一个是真命题，得到答案．

解答：解：A={x|x²-2ax+a²-1＜0}={x|a-1＜x＜a+1}，2∈A时a-1＜2＜a+1，则1＜a＜3，即命题P：1＜a＜3（4分）
由1∈{x|

x+1

ax-2

＞1}得

2

a-2

＞1⇒2＜a＜4
即命题Q：2≤a≤4（4分）
由题意知命题P，Q有且只有一个是真命题，
∴1＜a≤2或3≤a＜4（4分）

点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，元素与集合关系的判断，复合命题判断的真值表，其中根据元素与集合关系判断的方法，求出命题P和命题Q为真命题时，参数a的取值范围，是解答本题的关键．