Question

【题目】如图，直角梯形中， ， ， ，等腰梯形中， ， ， ，且平面平面.

（1）求证： 平面；

（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2) .

【解析】试题分析：

（1）由平面平面可得平面，从而得到．又， ，故由线面垂直的判定定理可得平面．（2）设，由题意可证得四边形为平行四边形，从而得平面，则为与平面所成的角，由，得．建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，根据两向量夹角的余弦值可求得二面角的余弦值．

试题解析：

（1）证明：∵平面平面，平面平面， ，

∴平面，

又平面，

∴，

又， ，

∴平面.

（2）解：设，

∵四边形为等腰梯形， ， ，

∴， ，

∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又平面，

∴平面，

∴为与平面所成的角，

∴，

又，

∴．

由两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ， ， ，

∴， ，

∵平面，

∴平面的法向量为.

设平面的一个法向量为，

由 得 ∴

令,得．

∴．

由图形知二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为.