Question

已知

m

=(sinA，cosA)，

n

=(-sinB，cosB)，

m

•

n

=cos2c，且A、B、C分别为a、b、c 三边所对的角．
（1）求角C的大小
（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且

CA

•(

AB

-

AC

)=18，求a+b的值．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则及两角和的余弦函数公式化简

m

•

n

=cos2C，得到cos2C=2cos²C-1=-cosC，化简后即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由sinA，sinC，sinB成等比数列，根据等比数列的性质得到sin²C=sinAsinB，根据正弦定理得到c²=ab，再根据向量的减法法则化简已知的

CA

•(

AB

-

AC

)=18，利用平面向量的数量积的运算法则得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度数，c²=ab及ab的值代入即可列出关于a+b的方程，求出方程的解即可得到a+b的值．

解答：解：（1）

m

•

n

=-sinAsinB+cosAcosB=cos(A+B)
对于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴cos（A+B）=-cosC
∴

m

•

n

=-cosC
又∵

m

•

n

=cos2C，
∴cos2C=2cos²C-1=-cosC，
又C∈（0，π），解方程得cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

；
（2）由sinA，sinC，sinB成等比数列，得sin²C=sinAsinB
由正弦定理得c²=ab，
∵

CA

•(

AB

-

AC

)=18，
∴

CA

•

CB

=18，
得abcosC=18，即ab=36，则c=6
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴36=（a+b）²-3×36，即（a+b）²=12²，
∴a+b=12．

点评：本题主要考查学生掌握平面向量的数量积的运算法则及向量的减法法则，掌握等差数列的性质，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及余弦定理化简求值，是一道中档题．