Question

函数f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）的图象与y=f′（x）+5x+m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围；
（3）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线y=f（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意得
且
∴即
解得，b=3
∴；
（2）由可得


则由题意可得有三个不相等的实根，
即的图象与x轴有三个不同的交点，
，则g（x），g′（x）的变化情况如下表：

则函数f（x）的极大值为
极小值为
的图象与的图象有三个不同交点，则有：

解得；
（3）存在点P满足条件
∵
∴
由得，
当时，
当时，
当时，
可知极值点为，
线段AB中点在曲线上，
且该曲线关于点成中心对称
证明如下：∵，
∴，

∴
上式表明，若点为曲线上任一点，其关于的对称点也在曲线上，曲线关于点对称
故存在点，使得过该点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等。