Question

[已知数列{a_n}满足：，a₂=1，数列为等差数列；数列{b_n}中，S_n为其前n项和，且，．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）记A_n=a_na_n+1，求数列{A_n}的前n项和S；
（3）设数列{c_n}满足，T_n为数列{c_n}的前n项和，求x_n=T_n+1-2T_n+T_n-1的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据给出的数列{b_n}的前n项和所满足的等式，求出S_n，然后由求出通项，继而可说明数列{b_n}是等比数列；
（2）由数列为等差数列求出数列{a_n}的通项公式，然后运用裂项法求数列{A_n}的前n项和S；
（3）把a_n，b_n的通项公式代入求c_n，把x_n=T_n+1-2T_n+T_n-1变形后换上c_n，得到关于n的函数式，写出X_n+1，与X_n作差后分析差式的单调性，从而得到X_n的最大值．
解答：解：（1）由得，，当n≥2时，，又，故，故数列{b_n}是等比数列；
（2）∵，∴，，∴d==3，∴，则，
∴，
∴；
（3）∵
∴，
，
故当n≤7时，{x_n}是递减的，当n≥8时，{x_n}是递增的，但n≥8时，x_n＜0
故x_n的最大值为．
点评：本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了裂项法对数列求和，（3）的解答运用函数思想，借助于函数的单调性分析出了函数取最大值时的n的值，该题是中档以上难度题型．