Question

【题目】若函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”.

（1）设函数（）.

①当时，求函数的极值；

②若函数存在“F点”，求k的值；

（2）已知函数（a，b，，）存在两个不相等的“F点”，，且，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①极小值为1，无极大值.②实数k的值为1.（2）

【解析】

（1）①将代入可得，求导讨论函数单调性，即得极值；②设是函数的一个“F点”（），即是的零点，那么由导数可知，且，可得，根据可得，设，由的单调性可得，即得.（2）方法一：先求的导数，存在两个不相等的“F点”，，可以由和韦达定理表示出，的关系，再由，可得的关系式，根据已知解即得.方法二：由函数存在不相等的两个“F点”和，可知，是关于x的方程组的两个相异实数根，由得，分两种情况：是函数一个“F点”，不是函数一个“F点”，进行讨论即得.

解：（1）①当时， （），

则有（），令得，

列表如下：

x		1
		0
		极小值

故函数在处取得极小值，极小值为1，无极大值.

②设是函数的一个“F点”（）.

（），是函数的零点.

，由，得，，

由，得，即.

设，则，

所以函数在上单调增，注意到，

所以方程存在唯一实根1，所以，得，

根据①知，时，是函数的极小值点，

所以1是函数的“F点”.

综上，得实数k的值为1.

（2）由（a，b，，），

可得（）.

又函数存在不相等的两个“F点”和，

，是关于x的方程（）的两个相异实数根.

又，，

，即，

从而

，，

即..

，

，

解得.所以，实数a的取值范围为.

（2）（解法2）因为（ a，b，，）

所以（）.

又因为函数存在不相等的两个“F点”和，

所以，是关于x的方程组的两个相异实数根.

由得，.

（2.1）当是函数一个“F点”时，且.

所以，即.

又，

所以，所以.又，所以.

（2.2）当不是函数一个“F点”时，

则，是关于x的方程的两个相异实数根.

又，所以得所以，得.

所以，得.

综合（2.1）（2.2），实数a的取值范围为.