Question

如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ周长为2．
（1）求PQ的最小值；
（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△CPQ周长为2，并且△CPQ是直角三角形，设∠CPQ=θ，根据三角函数的定义，CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ，因此可以表示出PQ=

2

1+ 2 sin(θ+ π 4 )

，求该函数的最小值即可；
（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据△CPQ周长为2，找出x，y的关系，求出∠PAQ的正切值，即可求得结果．

解答：解：设∠CPQ=θ，则CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ
（1）PQ=

2

1+sinθ+cosθ

（0＜θ＜

π

2

）
∴PQ=

2

1+ 2 sin(θ+ π 4 )

∴PQmin=

2

2 +1

=2

2

-2
（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
设Q（x，1），P（1，y），设∠DAQ=α，∠PAB=β
∴1-x+1-y+

(1-x)2+(1-y)2

=2，即xy+（x+y）=1
又tanα=x，tanβ=y
∴tan(α+β)=

x+y

1-xy

=1，
∴α+β=

π

4

∴∠PAQ=

π

2

-(α+β)=

π

4

点评：本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属中档题．