题目内容

已知函数 $数学公式$ （a，b，c为常数，a≠0）．
（Ⅰ）若c=0时，数列a_n满足条件：点（n，a_n）在函数 $数学公式$ 的图象上，求a_n的前n项和S_n；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a₃=7，S₄=24，p，q∈N^*（p≠q），证明： $数学公式$ ；
（Ⅲ）若c=1时，f（x）是奇函数，f（1）=1，数列x_n满足 $数学公式$ ，x_n+1=f（x_n），求证： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）依条件有f（x）=ax+b．
因为点（n，a_n）在函数f（x）=ax+b的图象上，所以a_n=f（n）=an+b．
因为a_n+1-a_n=a（n+1）+b-（an+b）=a，
所以a_n是首项是a₁=a+b，公差为d=a的等差数列．（1分）
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
即数列a_n的前n项和S_n= $\text{[math]}$ ．（2分）
（Ⅱ）证明：依条件有 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
所以a_n=2n+1．
所以 $\text{[math]}$ ．（3分）
因为2S_p+q-（S_2p+S_2q）=2[（p+q）²+2（p+q）]-（4p²+4p）-（4q²+4q）=-2（p-q）²，
又p≠q，所以2S_p+q-（S_2p+S_2q）＜0．
即 $\text{[math]}$ ．（5分）
（Ⅲ）依条件 $\text{[math]}$ ．
因为f（x）为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0．
即 $\text{[math]}$ ．解得b=0．所以 $\text{[math]}$ ．
又f（1）=1，所以a=2．
故 $\text{[math]}$ ．（6分）
因为x_n+1=f（x_n），所以 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ 时，有x_n+1＞0（n∈N^*）．
又 $\text{[math]}$ ，
若x_n+1=1，则x_n=1．从而x₁=1．这与 $\text{[math]}$ 矛盾．
所以0＜x_n+1＜1．（8分）
所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ．（10分）
所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（12分）
因为 $\text{[math]}$ ，x_n+1＞x_n，所以 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（Ⅰ）已知函数 $\text{[math]}$ ，因为点（n，a_n）在函数f（x）=ax+b的图象上，可得a_n是首项是a₁=a+b，公差为d=a的等差数列，从而求出a_n的前n项和S_n；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的条件，求出a_n的通项公式，因为2S_p+q-（S_2p+S_2q），化简后即可证明；
（Ⅲ）依条件 $\text{[math]}$ ．因为f（x）为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0，代入求出b值，从而求出f（x）的表达式，然后利用放缩法进行证明；
点评：此题难度系数比较大，是数列与不等式的证明相结合，是高考中的压轴题，也是一个热点问题，方法比较新颖，放缩不等式的时候技巧性比较强；