Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），过点E（

a2

c

，0）的直线与椭圆相交于点A，B两点，且F₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|
（Ⅰ）求椭圆的离心率
（Ⅱ）直线AB的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AF₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|，得

a2 c -c

a2 c +c

=

1

2

，从而a²=3c²，故可求离心率；（Ⅱ）先设直线AB的方程为y=k(x-

a2

c

)即y=k（x-3c），再与椭圆的方程2x²+3y²=6c²联立，又由题设知，点B为线段AE的中点，从而可求直线的斜率．

解答：解：（Ⅰ）由AF₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|，得

a2 c -c

a2 c +c

=

1

2

，从而a²=3c²，故离心率e=

3

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b²=a²-c²=2c²，所以椭圆的方程可以写为2x²+3y²=6c²
设直线AB的方程为y=k(x-

a2

c

)即y=k（x-3c）
由已知设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则它们的坐标满足方程组

y=k(x-3c) 2x2+3y2=6c2

 
消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0
依题意，△＞0-

3

3

＜k＜

3

3

，而x1+x2=

18k2

2+3k2

，x1x2=

27k2c2-6c2

2+3k2

，
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x₁+3c=2x₂
联立三式，解得x1=

9k2c-2c

2+3k2

，x2=

9k2c+2c

2+3k2

，，将结果代入韦达定理中解得k=±

2

3

点评：本题主要考查椭圆的离心率及直线的斜率，关键是找出几何量的关系，涉及直线与曲线的位置关系，通常是联立方程，借助于根与系数的关系求解，应注意判别式的验证．