Question

【题目】已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C ：x2=4y有相同焦点F1 ．
（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2 ， 且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1）， ∴c=1，又b2=1，∴
∴椭圆方程为： +x2=1．
（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，

设直线l1：y=kx﹣1
由 消去y并化简得x2﹣4kx+4=0
∵直线l1与抛物线C2相切于点A．
∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．
∵切点A在第一象限．
∴k=1
∵l∥l1
∴设直线l的方程为y=x+m
由 ，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，
△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，
解得 ．
设B（x1 ， y1），C（x2 ， y2），则 ，
又直线l交y轴于D（0，m）
∴
=
当 ，即 时，
所以，所求直线l的方程为
【解析】（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．