Question

（2012•闵行区一模）将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N^*）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、…、第n个阴影部分图形．设前n个阴影部分图形的面积的平均值为f（n）．记数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

f(n)，当n为奇数 f(an)，当n为偶数

．
（1）求f（n）的表达式；
（2）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=a_n+s（s∈R），若不等式

.

1       0 0 0     bn bn+2 bn+1 bn+1 bn+1

.

＞0有解，求s的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为2²-1²，第2个阴影部分图形的面积为4²-3²，…，第n个阴影部分图形的面积为（2n）²-（2n-1）²，从而可得f（n）的表达式；
（2）a₁=1，a₂=f（1）=3，a₃=f（a₂）=2×3+1=7，当n为偶数时，a_n=f（n-1）=2n-1，当n为大于1的奇数时，a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+1=4n-5，由此可得结论；
（3）由（2）知b_n=

1+s．n=1 2n-1+s，n为偶数 4n-5+s，n为大于1的奇数

，根据

.

1       0 0 0     bn bn+2 bn+1 bn+1 bn+1

.

＞0，可得b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＞0，再分类讨论，即可求得s的取值范围．

解答：解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为2²-1²，第2个阴影部分图形的面积为4²-3²，…，第n个阴影部分图形的面积为（2n）²-（2n-1）²．（2分）
故f（n）=

(22-12)+…+[(2n)2-(2n-1)2]

n

=2n+1                 （4分）
（2）a₁=1，a₂=f（1）=3，a₃=f（a₂）=2×3+1=7，
当n为偶数时，a_n=f（n-1）=2n-1，（3分）
当n为大于1的奇数时，a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+1=4n-5，
故a_n=

1．n=1 2n-1，n为偶数 4n-5，n为大于1的奇数

．                     （5分）
（3）由（2）知b_n=

1+s．n=1 2n-1+s，n为偶数 4n-5+s，n为大于1的奇数

．
又

.

1       0 0 0     bn bn+2 bn+1 bn+1 bn+1

.

＞0，∴b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＞0．
（ⅰ）当n=1时，即b₂（b₁-b₃）=（3+s）（-6）＞0，于是3+s＜0，∴s＜-3
（ⅱ）当n为偶数时，[4（n+1）-5+s][（2n-1+s）-（2n+3+s）]=（4n-1+s）（-4）＞0
于是4n-1+s＜0，∴s＜（-4n+1）_max=-7．      （3分）
（ⅲ）当n为大于1的奇数时，
即[2（n+1）-1+s][（4n-5+s）-（4n+3+s）]=（2n+1+s）（-8）＞0
于是2n+1+s＜0，∴s＜（-2n-1）_max=-7．        （5分）
综上所述：s＜-3．                        （7分）

点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，考查数列通项的求解，考查分类讨论的数学思想，综合性强．