Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC⊥BC₁，AB=BC₁，E、F、G分别是线段AC₁、A₁C₁、BB₁的中点，求证：
（1）EF∥平面BCC₁B₁；
（2）平面EFGB⊥平面AB₁C₁．

Answer 1

解：（1）因为E，F分别为线段AC₁，A₁C₁的中点，所以EF∥AA₁，
又因为BB₁∥AA₁，所以EF∥BB₁，…（2分）
又因为EF?平面BCC₁B₁，所以EF∥平面BCC₁B₁…（6分）
（2）因为AB⊥BC，BC⊥BC₁，且AB∩C₁B=B，
所以BC⊥平面ABC₁…（8分）
又因为BE?平面ABC₁，所以BC⊥BE，
又因为BC∥B₁C₁，所以BE⊥B₁C₁…（10分）
因为AB=BC₁，E为AC₁的中点，所以BE⊥AC₁，
因为AC₁∩B₁C₁=C₁，所以BE⊥平面AB₁C₁…（12分）
又因为BE?平面EFGB，所以平面EFGB⊥平面AB₁C₁…（14分）
分析：（1）由题意易证EF∥BB₁，利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）可先证明BE⊥平面AB₁C₁，再利用平面与平面垂直的判定定理即可证明平面EFGB⊥平面AB₁C₁．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定与平面与平面垂直的判定，关键在于熟练掌握直线与平面垂直的判定与平面与平面垂直的判定定理，并灵活地转化与运用，属于中档题．