Question

（2013•南充三模）已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m、a_n使得

aman

=2a₁，则mn的最大值是

4

．

Answer 1

分析：把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．

解答：解：∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a₁
∴a_ma_n=4a₁²，
∴q^m+n-2=4，
∴m+n=4
∴mn≤(

m+n

2

)2=4
当且仅当m=n时即m=2，n=2时取得等号
∴mn的最大值是4．
故答案为：4．

点评：本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，属于中档题．