Question

【题目】设，函数.

（1）若，求的反函数；

（2）求函数的最大值（用表示）；

（3）设，若对任意，恒成立，求的范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据反函数定义求解即可；

（2）根据y＝f（x）f（﹣x），判断函数y的单调性即可求解最大值．

（3）g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1），换元t＝a2x，得h（t），讨论和时，h（t）最值即可求解

（1）当a＝1时，f（x），

∴1+2x，

即2x1，则0＜y＜1，

∴x＝log2（）；

故f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2（），x∈（0，1）

（2）∵y＝f（x）f（﹣x），

设y＝2x+2﹣x，易知，函数y＝2x+2﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

则当x＝0时，y＝2x+2﹣x有最小值，最小值为2，

∴当x＝0时，y＝f（x）f（﹣x）有最大值，

∴ymax；

（3）g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1），令t＝a2x，∵x∈（﹣∞，0]，a＞0，∴0＜t≤a．

∴h（t），

当时h（t）在（0，a]上单调递减，所以

∵对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，且g（0），

∴恒成立，∴0

当时，，令不恒成立，舍去

综上，a的取值范围是（0，]．