Question

设函数f(x)=

1

2

x2ex
（1）求该函数的单调区间；
（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出导函数f′（x），令导函数f′（x）＞0，求解即可求得单调增区间，令f′（x）＜0，求解即可求得单调减区间，从而求得答案；
（2）将恒成立问题转化成求函数f（x）最大值，利用导数求出函数f（x）的最大值，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：∵f(x)=

1

2

x2ex，
∴f′（x）=xe^x+

1

2

x²e^x=

1

2

e^xx（x+2），
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（0，+∞），单调减区间为（-2，0）；
（2）∵当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞f（x）_max，
由（1）可知，f′（x）=xe^x+

1

2

x²e^x=

1

2

e^xx（x+2），
令f′（x）=0，可得x=-2或x=0，
∵f（-2）=

2

e2

，f（0）=0，f（2）=2e²，
∴f（x）_max=2e²，
∴m＞2e²，
∴实数m的取值范围为m＞2e²．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．本题同时考查了函数的恒成立问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．