Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，角A、B、C成等差数列，sinA+cosA=

2

，边a的长为

2

．
（I）求边b的长；
（II）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）、先根据题中已知条件利用等差数列先求出角B的值，结合三角函数基本公式求出角A的值，再利用正弦定理便可求出边b的长度；
（II）、根据角A、B的值求出sinC的值，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

解答：解：（I）∵角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C．
∵A+C=π-B，∴3B=π，B=

π

3

．
∵sinA+cosA=

2

，由sin²A+cos²A=1，得sin2A=1．
又∵2A∈（0，2π），∴2A=

π

2

，∴A=

π

4

．
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，
∴

2

sin π 4

=

b

sin π 3

，
∴b=

3

．
（II）sinC=sin(π-(A+B))=sin(A+B)=sin(

π

4

+

π

3

)=sin

π

4

cos

π

3

+cos

π

4

sin

π

3

=

6 + 2

4

或者sinC=sin(π-A-B)=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

6 + 2

4

△ABC的面积S△ABC=

1

2

a•b•sinC=

1

2

•

2

•

3

•

6 + 2

4

=

3+ 3

4

．

点评：本题主要涉及等差数列、三角函数、正弦定理以及三角形面积的求法等知识点，是各地高考的热点，综合性较强，考查了学生对知识的综合运用和全面掌握，平常应多加训练．