题目内容
已知在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥BD，且AB=BC=CA=BD=2AE，F为CD的中点．（1）求证：EF⊥平面BCD；
（2）求二面角D-EC-B的正切值．
分析：（1）连接BF，由EF2+BF2=BE2得到BF⊥EF，又EF⊥CD，则线面垂直的判断定理证明．
（2）由（Ⅰ）可知BF⊥CD，BF⊥EF，所以BF⊥面CDE，又过F作FG⊥CE，交CE于点G，连接BG，得知∠BGF为二面角D-EC-B的平面角，然后在Rt△BGF中求解．
（2）由（Ⅰ）可知BF⊥CD，BF⊥EF，所以BF⊥面CDE，又过F作FG⊥CE，交CE于点G，连接BG，得知∠BGF为二面角D-EC-B的平面角，然后在Rt△BGF中求解．
解答：解：（Ⅰ）连接BF，不妨设AE=1，则AB=BC=AC=BD=2，
于是CE=ED=
，CD=2
，
所以EF=
，BF=
，BE=
（3分）
所以BF⊥EF，又EF⊥CD，又BF，CD为两条相交直线
故EF⊥平面BCD（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BF⊥CD，BF⊥EF，所以BF⊥面CDE
又过F作FG⊥CE，交CE于点G，连接BG
因此∠BGF为二面角D-EC-B的平面角（9分）
tan∠BGF=
，
而FG=
=
=
所以tan∠BGF=
=
（12分）
于是CE=ED=
| 5 |
| 2 |
所以EF=
| 3 |
| 2 |
| 5 |
所以BF⊥EF，又EF⊥CD，又BF，CD为两条相交直线
故EF⊥平面BCD（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BF⊥CD，BF⊥EF，所以BF⊥面CDE
又过F作FG⊥CE，交CE于点G，连接BG
因此∠BGF为二面角D-EC-B的平面角（9分）
tan∠BGF=
| BF |
| FG |
而FG=
| EF•CF |
| CE |
| ||||
|
| ||
| 5 |
所以tan∠BGF=
| ||||
|
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查线线垂直与线面垂直的相互转化，同时考查二面角的求法，基本思路是先找或作出二面角的平面角，再求解．
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