Question

【题目】已知数列{an}中，a2=2，前n项和为 ． （I）证明数列{an+1﹣an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（II）设 ，数列{bn}的前n项和为Tn ， 求使不等式 对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

【答案】解：（I）由题意，当 ． a2=2，则a2﹣a1=1．
当 ， ，
则 ，
则（n﹣1）an+1﹣2（n﹣1）an+（n﹣1）an﹣1=0，
即an+1﹣2an+an﹣1=0，
即an+1﹣an=an﹣an﹣1 ．
则数列{an+1﹣an}是首项为1，公差为0的等差数列．
从而an﹣an﹣1=1，则数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以，an=n（n∈N*）
（II）
所以，
= ．
由于 ．
因此Tn单调递增，
故Tn的最小值为
令 ，
所以k的最大值为18
【解析】（I）由题意，当 ．a2=2，则a2﹣a1=1．当 ，由此入手能够导出数列{an+1﹣an}是首项为1，公差为0的等差数列，从而能够求出an ． （II） ，所以， = ．由此能够求出使不等式 对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
【考点精析】关于本题考查的等差数列的通项公式（及其变式）和等差关系的确定，需要了解通项公式：或；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列才能得出正确答案．